Einführung in das mathematische Arbeiten (Springer-Lehrbuch) von Hermann Schichl und Roland Steinbauer  

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KONVENTIONEN fuer dieses Dokument: CH soll "challenge" andeuten, Fragen zum Nachdenken und Diskutieren, auch miteinander!

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ZIELE des MATHEMATIKSTUDIUMS

 

Bachelor-Master Studium, Lehramt, Zusatzausbildung f. andere Studien etc.

 

Teilgebiete des Faches MATHEMATIK

Analysis, Lineare Algebra, Stochastik,...

 

VORAUSSETZUNGEN f.d. ANALYSIS Kurs (und daher auch f.d. StEOP Test) :

siehe Analysis Seite von B.Kroen:  http://homepage.univie.ac.at/bernhard.kroen/Analysis.html

Die folgende Liste enthält Dinge, die in der Einführungen in Analysis und Lineare Algebra vorausgesetzt werden. Sie sollten diesen Stoff aus der Schule bzw. aus der Einführungen in das mathematische Arbeiten mitbrinbgen:

- Umformen von Bruchtermen/Gleichungen und Ungleichungen (Kürzen, Erweitern, auch Partialbruchzerlegung), binomischer Lehrsatz
- math. Terminologie und Abkürzungen: o.B.d.A., w.z.z.w., q.e.d., etc.
- Summen- und Produktschreibweise auch mit mehreren Indizes, Doppelsummenschreibweise
- elementare Mengenoperationen inkl. symm. Differenz und de Morgan
- Logik: und/oder, Quantoren, Negation von komplexeren Aussagen (auch in Textform), Implikation (einseitig, zweiseitig)
- Beweisverfahren: Unterschied von direkt/indirekt, vollst. Induktion, Kettenschluss, Fallunterscheidung, Gleichheit von Mengen (Element von links muss rechts enthalten sein und umgekehrt)
- Algebra: Gruppen, Körper; Was bedeutet "abgeschlossen bzgl. einer Verknüpfung"?
- Funktionen: surj., inj., bij., Monotonie, Betrag, Signum, Umkehrfunktion, Verknüpfung, Mächtigkeit von Mengen (Bsp. nat. Zahlen N und 2N gleichmchtig)
- Partielle/totale Ordnung, Ordnungsvollstaendigkeit (Supremumseigenschaft), sup/inf, max/min
- Zahlenbereiche: relle Zahlen zumindest auf schulmathematischen Niveau wie: rational=periodisch, irrational=nicht periodisch; Umwandeln: periodisch-rational (und retour)
- komplexe Zahlen mit kartesischen und Polarkoordinaten, geometrische Interpretation von Addition und Multiplikation, Faktorisieren von Polynomen (Fundamentalsatz der Algebra ohne Beweis)
- Primzahlen: Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung; Existenz unendlich vieler Primzahlen
- analytische Geometrie: Parameterdarstellung von Geraden und Ebenen, Gleichungen von Geraden in der Ebene und von Ebenen im Raum, Punkte und Vektoren

 

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Mathematische Sprech und Schreibweisen:

Im Buch SSt (Schichl-Steinbauer) wird ausführlich über die mathematischen Sprechweisen diskutiert, aber die mathematischen Symbole haben zwei weitere Bedeutungen: Manchmal dienen sie lediglich zur schriftlichen Darstellung von math. Sachverhalten

Die Mathematik hat genauso wie andere Wissenschaften oder Kultur-Aktivitäten ihre eigene stenografische Ausdrucksweise gefunden. Chemiker haben ihre Formeln, Musiker haben die Notenschrift (neben den traditionellen, klassichen Noten gibt auch graphische Notationen). Selbst die Darstellung von Zahlen, wie wir sie heute verwenden, sind das Ergebnis einer langen Entwicklung, man denke nur an die römischen Zahlen (und die Schwierigkeit, mit diesen Zahlen zu rechnen).

CH 1: Argumentiere, warum man mit den roemischen Zahlen so "schlecht"  arbeiten kann!?

Wir werden immer wieder damit konfrontiert werden, dass es spezielle Symbole gibt, die manchmal das Operieren (man spricht oft von algebraischen Eigenschaften) erleichten, manchmal eine Art Kurzschrift, aber in vielen Fällen gibt es alternative Darstellungsformen, z.B. Diagramme, etc.., und natürlich in jüngerer Zeit auch die Möglichkeiten des Computers (Animation, Farben, etc., Dinge die oft nicht auf der Tafel dargestellt werden können).

als Beispiel: Zitat aus einer soeben erschienen Publikation (nur zur Illustration der Möglichkeiten)

2.

Lifted generalized permutahedra and composition polynomials   Original Research Article Available online 26 February 2013 , Advances in Applied Mathematics  Federico Ardila, Jeffrey Doker , Graphical abstract

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Psychologische Aspekte des Mathematik-Lernens

Das ist natürlich KEIN Prüfungsstoff (wird noch deklariert), aber trotzdem wichtig!

1. Mathematik ist kein Zuschauersport! Selbst aktiv zu sein, ist ein wichtiger Aspekt der Mathematik. Man kann unter normalen Umstaenden kein/e gute/r MathematikerIn sein, ohne viel mit Papier, Bleistift und Radiergummi (idealerweise, warum?) zu arbeiten. Mathematische Forschungsinstitute (wie das ESI)  sind stolz darauf, grosse Tafeln zu haben. Das heisst aber nicht, dass Mathematiker die großartigen Buchhalter und Symboljongleure sein müssen (manchmal sind sie es durchaus, aber man denke nur an Trommler und Organisten, die auch komplett unterschiedliche Fähigkeiten haben müssen, um gute Musiker zu sein.
2. Eine meiner persönlichen Spezialitäten ist der Vergleich von mathematischem TUN mit Dingen, die aus dem praktischen Leben gegriffen sind, und so vielleicht besser verstanden werden können (vor allem wenn es um Abstraktion geht). Diese Zugang wird von manchen wohl als eigenartig gesehen, weil er auch sehr ungewöhnlich ist. Als Studienanfänger sollten Sie nicht glauben, dass diese Art spezifisch für die Universitäts-Mathematik ist, sondern es ist eben eine meiner Eigenheiten. Ich werde daher wohl auch manche persönliche Sichtweise und Geschichte einflechten, die als Orientierung helfen kann, zu verstehen, wie man sich selbst in der Welt der Mathematik zurechtfindet. Die zwei HAUPTGLEICHNISSE sind: a) Expeditionen bzw. b) Touristen in Wien.  Dazu wird noch viel zu hören sein!
3. Ich habe mich selber sehr gewundert, als mein Physik-Professor an der Univ. (Lehramt) sagte, unser Studium würde unsere Denk- und Ausdrucksweise beeinflussen. Nun sage ich es selber. Das heisst aber keineswegs, dass man als MathematikerIn dauernd rechnet, alles optimiert (obwohl es schon passieren kann, dass man bei einer Gruppenaktivität die Person ist, die für die gerechte Aufteilung der Kosten zuständig gemacht wird)! Es heisst aber hoffentlich, dass man sich um Klarheit der Begriffe bemüht, dass man nervös wird, wenn in einer Diskussion Fakten mit Argumenten vermischt werden, wenn falsche statistische Interpretationen verbreitet werden, oder wenn philosophische Argumentation mit logischem Schliessen mehr oder minder gleichgesetzt sind. In diesem Sinne steht die Mathematik der Juristerei nahe, wo auch ein Gerichtsurteil nur nach Prüfung der Fakten und nachvollziehbarer Argumentation zur Verurteilung führen kann.
4. Wenn man im Bekanntenkreis oder in der Familie als Mathematik-Student vorgestellt wird, erfährt man oft Bewunderung (manchmal Unverständnis), und in der Mehrheit der Fälle, "leider war ich in Mathematik ein schlechter Schüler", oder "wo kann man das nur studieren, das ist so trocken/fürchterlich/abstrakt", da kann man sich nichts drunter vorstellen, und man muss so genau sein. Mein persönliche Antwort darauf ist normalerweise: "Wenn das so wäre, würde mich die Mathematik auch nicht interessieren". Auch Mediziner sehen sich wohl eher als Menschen, die ihr Wissen zum Wohl der Menschheit einsetzen, als solche, die keine Scheu vor Blut und Wunden haben. Also sollten wir uns nebenbei auch mit der Frage der beschäftigen: Inwieferne ist die Mathematik bzw. sind die Tätigkeiten der Mathematiker nützlich (oder nur f.d. Ausübenden interessant). Nicht nur in Kursen über Angew. Math.., Modellierung etc. werden Sie etwas von den vielfältigen Anwendungen und der "Mathematik im Alltag" erfahren. Bis zum Studienende sollten Sie ja auch als Akademiker ihr Fach nach aussen vertreten können, z.B. in Diskussionen (nicht nur, wenn Sie das Lehramt machen). Und worin besteht die Ausübung der Mathematik (wie schon angedeutet, gibt es vielfältige Ausformungen, vom Versicherungsmathematiker bis hin zum Forscher der in einem interdisziplinären Team math. Algorithmen entwickelt...).
5. Es hängt natürlich ein wenig von den individuellen Vorlieben ab, wie man einen Lernstoff verarbeiten will/kann, bzw. zu einem tieferen Verständnis von komplizierten Sachverhalten kommt. Die klare Empfehlung ist ein gute Mischung eigenständiger Arbeit (nicht nur in der Vorlesung sitzen, sondern selbst aktiv rechnen), und Austausch mit KollegInnen. Ein solcher Austausch festigt die Ausdruckfähigkeit, sichert das Verständnis und trägt normalerweise zu einer erheblichen Beschleunigung des Lernprozesses bei. Wenn sich eine kleine Gruppe von 2 bis 5 StudentInnen mit etwa vergleichbarer Arbeitsmoral und gutem pers. Verständnis füreinander zusammenfindet, ist das für alle Beteiligten von grossem Nutzen. Das rein technische Vorwissen ist dabei gar nicht einmal so wichtig! Ausgenommen von dieser Empfehlung ist die Erarbeitung der Übungsbeispiele, wo die Mindestvoraussetzung ist, dass jede/r einmal selber ernsthaft probiert hat, diese zu "rechnen", die gestellten Probleme zu verstehen und eigene Lösungsansätze zu entwickeln.
6. Elektronische Hilfsmittel gewinnen im modernen Leben, aber insbesondere in/für die Mathematik eine immer größere Rolle, und ein Ende dieser rasanten Entwicklung ist noch keineswegs absehbar. Ich denke sogar, dass es eine gute Zeit für MathematikerInnen ist, weil immer besser das, was an der Mathematik interessant zur Umsetzung kommt, und die mühevollen Prozeduren können in den Hintergrund treten. Noch in meiner Schulzeit (vor 50 Jahren besuchte ich die 2. Klasse Gymnasium) musste man ein Logarithmenbuch zur Hand nehmen, um grosse reelle Zahlen approximativ miteinander zu multiplizieren, und Dreiecke hatten fast ausschliesslich Winkel von der Größe 30,45,60 oder 90 Grad (und die Werte der trig. Fkt. f. diese Winkel hatte man im Kopf zu haben). Andererseits ist heute das allgemeine (geometrische) Wissen über die klassischen Kegelschnitte wohl eher geringer als vor etwa 80 Jahren. Es gibt also viel zu tun!
7. Mathematische Software und deren teilweise Beherrschung gehört heutzutage einfach dazu. Im Laufe der Vorlesung wird es wohl noch reichlich die Möglichkeit geben, darauf hinzuweisen, und manchmal werde ich mir erlauben, MATLAB code an die Tafel zu schreiben. Es gibt die LV  Mathematik und EDV. OCTAVE ist eine software die frei downloadbar ist, und mit deren Hilfe man die meisten Aufgaben der Linearen Algebra numerisch umsetzen kann (d.h. es bildet ein Art "Taschenrechner für die Vektorrechnung"). MATLAB ist ein kommerzielles Produkt, das z.B. im PC-Labor verwendet werden kann (s. prakt. Aspekte).

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Praktische Aspekte des Mathematik-Lernens

1. Ist es wichtig, regelmäßig in die Vorlesung zu kommen? Einfache Antwort: Ja! Im eigenen Interesse (nicht weil ich so gerne großes Publikum habe). Ich werde oft Vergleiche bringen, die nicht aufgeschrieben sind, auf spontane Fragen eingehen, mit "Händen und Körpereinsatz" (z.B. geometrische) Sachverhalte vor Augen führen, das "muss man gesehen haben" um es schnell zu erfassen. Man kann natürlich auch viel Lernstoff durchackern, um selber zu entsprechenden räumlichen Vorstellungen (beispielswiese) zu kommen, aber normalerweise ist das viel mühevoller.

2. Soll man eine  eigene Mitschrift anfertigen? Die Antwort darauf ist in klares Ja! Bitte unbedingt soviel wie möglich mitschreiben, und die Mitschriften in einer Mappe sammeln, chronologisch geordnet, mit Kennzeichnung von wichtigen Kernaussagen. Am besten noch am selben Tag oder am Ende der Woche zusammenfassen, was gemacht wurde, was man nun dabei gelernt hat, und auch feststellen, was möglicherweise unverstanden geblieben ist.

3. In der heutigen Zeit funktioniert die Informationsvermittlung verstärkt über das Internet. Viele Informationen, die man früher internalisieren musste, sind heute im Moment des Bedarfs abrufbar. Umso wichtiger wird es zu wissen, welche Fragen man stellen kann, wo man sich zuverläßliche Antworten holen kann und wo man eventuell vorsichtig sein kann. Diese Resource wird sich in den kommenden Jahren noch enorm verstärken und in der praktischen Nützlichkeit noch erheblich verbessert werden. Eine Seite wie Wolfram-alpha ist imstande, erstaunliche Fragen zu beanworten (nicht nur die Kreiszahl pi auf viele Stellen darzustellen, oder probieren Sie einfach "e" einzugeben).

4. Mathematische Software existiert in vielfältiger Form, von Geograbra, über MATHEMATICA und MATLAB zu diversen Spezialprogrammen. Man kann sich nicht mit allen vertraut machen, aber einige (bzw. die wichtigsten davon) sollte man kennen bzw. jedenfalls wissen, wofür sie eingesetzt werden können.

5. Ich werde mich bemühen, jeweils klarzumachen, welche Dinge einfach übernommen/gelernt werden sollten, welche eigenständig erarbeitet werden können, wie mit dem Material umgegangen werden soll (mein wiederkehrender  Expeditionsvergleich soll helfen, zu verstehen, was ich meine!).

6. more to come! hgfei   (in Arbeit, 3.3.2013)

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Wie wird Mathematik betrieben?

1. mit Bleistift und Papier !

2. auf der Tafel

3. im Kopf

4. mit Händen und Füßen

5. am Rechner, mit Hilfe von mathematischer Software, wie z.B. Geogebra  

6. mittels Excel Sheet? (man beachte die verschiedenen Typen von Eintragungen, Sortierbarkeit, etc.);

7. Mittels Online Rechenportalen, wie WOLFRAMALPHA (PC, etc.);

8. ?? weitere Vorschläge ?? 

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Wie wird Mathematik aufgeschrieben?

Zum SCHREIBEN von Mathematik wird vorzugsweise das LATEX System verwendet, das jede/r MathematikerIn beherrschen sollte, jedenfalls in den Grundzügen.

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Wo wird Mathematik angewendet?

Schule, Universität, Naturwisschenschaften, Technik, Wirtschaft und Finanz, Biologie, Statistik, Verkehrswesen, Metereologie, Architektur, Medizin, digitale Medien,... überall...

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Falsche Meinungen über die Mathematik?

Mathematics is boring!  Mathematics is abstract! Mathematics is difficult to understand. Mathematics is about formulas, and at the university you will do more complicated formulas. Mathematicians are the perfect book-keepers.

 

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Wie kann ich mich am besten auf die Prüfung vorberereiten?

1. Durch Teilnahme an der Vorlesung, Erstellen einer eigenen (handschriftlichen) Mitschrift

2. Mitmachen bei möglichst viele Workshops

3. Diskussion mit KollegInnen

4. Beobachtung dieser WEB-page